波的入射、反射与驻波干涉演示

Overview

展示在一维弹性介质中，入射波在固定端（x=12 m）产生自由端反射（无半波损失，仅传播方向反向），与入射波叠加形成驻波。观众能够直观看到质点的纵向振动、入射/反射波形、叠加后的驻波以及波腹（加强点）和波节（减弱点）的分布，同时在右侧实时显示质点 M、N 的振动图像。

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Phases

#	Phase Name	Duration	Description
1	初始设置	~2.0 s	显示标题"入射波与反射波干涉分析"，建立左侧波动传播坐标系（x: 0–14 m）和右侧质点振动坐标系（t: −0.075 s → 2.4 s），标注 M(1.5 m)、N(4 m)、Q(12 m) 位置，x=12 m 处绘制障碍物竖线，显示入射波方程。
2	入射波传播	~4.0 s	t 从 −0.2 s 推进至 0.4 s。60 个质点按 always_redraw 动态更新，入射波（黄色）向右传播，质点颜色随位移插值变化（正向→红，负向→蓝），黄色虚线标记波前沿，右侧同步绘制 M、N 点振动曲线起始段。
3	反射波产生与叠加	~6.5 s	t 从 0.4 s 推进至 2.4 s。波到达 Q 点后产生自由端反射波（青色），无相位突变，叠加波（紫色）在重叠区域显示，干涉图样逐渐稳定为驻波。右侧振动图像持续同步更新，白色虚线时间游标随 t 移动。
4	驻波特征展示	~2.5 s	t=2.4 s 快照：红色圆点标记波节（位移恒为零），绿色圆点标记波腹（振幅最大），底部标注各节点/腹点 x 坐标，文字说明"驻波形成：节点(红)，腹点(绿)"。
5	Outro	~0.5 s	时间标签淡出，整体画面保持数秒供观众观察驻波结构后结束。

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Layout

┌──────────────────────────────┬──────────────────────┐
│         LEFT AREA            │    RIGHT AREA         │
│  波动传播图 (x: 0–14 m)      │  质点振动图像         │
│  入射波、反射波、叠加波       │  M点(红) N点(绿)      │
│  60质点、障碍物、波前标记     │  t: -0.075s → 2.4s   │
│                              │  时间游标(白色虚线)    │
├──────────────────────────────┴──────────────────────┤
│                   BOTTOM AREA                        │
│   驻波节点/腹点标记（红/绿圆点 + x 坐标标注）         │
└─────────────────────────────────────────────────────┘

Area Descriptions

Area	Content	Notes
Left	横向介质（x: 0–14 m）、60 个质点（小圆点，颜色随位移变化）、入射波（黄色实线）、反射波（青色实线）、叠加波（紫色实线）。x=12 m 处绘制灰色粗竖线标记障碍物（Q 点），黄色虚线标记入射波前沿。左上角显示当前仿真时间 t（白色文字，半透明黑框）。	质点满足 t+0.2 ≥ x/20 后才开始振动，体现波的传播性。质点颜色：正位移→红，负位移→蓝，零位移→白。
Right	小坐标系：横轴时间 −0.075 s → 2.4 s，纵轴位移 −6 cm → 6 cm。绘制质点 M（x=1.5 m，红色曲线，起振 t=−0.125 s）和质点 N（x=4 m，绿色曲线，起振 t=0 s）的振动图像。白色虚线时间游标随主场景 t 同步移动。	曲线随主场景时间同步实时更新；M、N 标签及起振时刻标注显示在坐标系旁。
Bottom	仅用于标记驻波节点（红色圆点）和腹点（绿色圆点），每个点下方标注其 x 坐标数值，并附文字说明"驻波形成：节点(红)，腹点(绿)"。	标记在 Phase 4 驻波特征展示阶段出现，保持可见至动画结束。

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Notes

• 时间基准：左上角实时显示当前仿真时间 $t$（单位 s），背景为半透明黑框，文字白色。
• 物理参数：
  • 波速：$v = \omega/k = 10\pi / 0.5\pi = 20$ m/s
  • 波长：$\lambda = 2\pi/k = 4$ m
  • 周期：$T = 2\pi/\omega = 0.2$ s
  • 障碍物位置：$x = 12$ m（Q 点，自由端反射，无半波损失）
• 反射类型说明：本题障碍物为自由端，反射时不发生半波损失，反射波与入射波在反射点处相位相同，仅传播方向反向。
• 波形公式（令 $t' = t + 0.2$）：
  • 入射波：$y_1 = 0.05\sin(10\pi t' - 0.5\pi x)$，条件：$t' \ge x/20$
  • 反射波（自由端，无相位突变）：$y_2 = 0.05\sin(10\pi t' + 0.5\pi x - 12\pi)$，条件：$t' \ge (24-x)/20$
  • 叠加波：$y = y_1 + y_2$（在两波重叠区域显示）
  • 驻波方程（稳定后）：$y = 0.1\cos(0.5\pi x - 6\pi)\sin(10\pi t')$
• 质点启动条件：质点在满足 $t + 0.2 \ge x/20$ 后才开始振动，以体现波的传播而非质点随波移动。
• 关键质点起振时刻：
  • M 点（x=1.5 m）：$t_M = 1.5/20 - 0.2 = -0.125$ s
  • N 点（x=4 m）：$t_N = 4/20 - 0.2 = 0$ s
  • Q 点（x=12 m）：$t_Q = 12/20 - 0.2 = 0.4$ s
• 节点/腹点位置（自由端反射，反射点为波腹）：
  • 波腹（振幅最大，含自由端 x=12 m）：$x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$ m
  • 波节（位移恒为零）：$x = 1, 3, 5, 7, 9, 11$ m
• 颜色约定：
  • 入射波：黄色实线
  • 反射波：青色实线（自由端反射，无相位突变）
  • 叠加波：紫色实线（稍粗）
  • 波节（节点）：红色实心圆点
  • 波腹（腹点）：绿色实心圆点
  • 质点 M：红色大圆点 + 字母标签；质点 N：绿色大圆点 + 字母标签
  • 质点颜色：正位移→红，负位移→蓝，零位移→白
  • 时间游标：白色虚线
• 动画时长：整体约 15.5 s，节奏适当放慢，便于学生观察波形传播与叠加细节。
• 实现方式：所有元素在同一 Manim Scene 中完成，波形与质点采用 always_redraw 动态更新，确保视觉平滑无跳帧。
• 文本使用：仅在必要位置出现标签（M、N、Q、坐标数值、时间、方程），避免冗余文字。