Archimedes Polygon Approximation of Pi

Especificación de animación Manim (una sola escena)

1. Descripción general y objetivo

• Objetivo: Mostrar el método de Arquímedes para aproximar π mediante polígonos inscritos en una circunferencia unidad, resaltando cómo el perímetro del polígono (
  $\pi_{\text{bajo}} = n\,\sin(\pi/n)$) se acerca al valor real de π a medida que aumenta el número de lados.
• Duración total: 50 s (dentro del rango 40‑60 s).
• Estilo visual: fondo blanco, líneas negras, énfasis sutil con tonos grisáceos y resaltado en azul claro para valores numéricos. Todo el texto en español con fondo opaco que contraste (texto negro sobre fondo gris claro).

2. Elementos matemáticos y fórmulas

• Fórmula del perímetro del polígono inscrito:
  \pi_{\text{bajo}} = n\,\sin\left(\frac{\pi}{n}\r\right)
• Valor numérico de π bajo, redondeado a 4 decimales, por ejemplo para $n=4$:
  \pi_{\text{bajo}} = 4\,\sin\left(\frac{\pi}{4}\r\right) \approx 2.8284
• Nota textual: "Perímetro del polígono inscrito < circunferencia".
• Texto final: "A medida que $n$ aumenta, $\pi_{\text{bajo}}$ tiende a 3.1416".

3. Elementos visuales

Elemento	Apariencia	Comentario
Círculo unidad	Línea negra de grosor medio, radio 2 unidades en la escala de Manim (para que el diámetro sea 2).	Centrado en el origen.
Diámetro	Segmento horizontal negro, etiquetado "d = 2" con fondo gris claro.
Polígonos inscritos	Lados negros, vértices marcados con pequeños puntos blancos. Cada polígono se dibuja sobre el círculo.
Perímetro resaltado	Línea gruesa azul claro que recorre el contorno del polígono justo después de dibujarlo.
Valor numérico	Texto negro con fondo gris claro, posición a la derecha del círculo, alineado verticalmente con cada paso.
Nota	Texto negro sobre fondo gris claro, aparece una sola vez después del primer polígono y permanece durante toda la escena.
Texto final	Texto negro sobre fondo gris claro, centrado en la pantalla al final.

4. Secuencia de animación y tiempos (aprox.)

Tiempo (s)	Acción	Detalles de transición
0‑3	Introducción: aparición del círculo unidad y del diámetro "d = 2" con un fade‑in suave (0.5 s) y luego un draw del círculo (1.5 s).
3‑5	Nota: aparece la frase "Perímetro del polígono inscrito < circunferencia" con fade‑in (0.5 s) y se mantiene.
5‑9	n = 4: dibujar polígono de 4 lados (1 s), resaltar perímetro (0.5 s), mostrar valor numérico "π₍bajo₎ = 2.8284" con write (0.5 s). Pequeña pausa (0.5 s).
9‑13	n = 6: transición fade‑out del polígono anterior (0.3 s), draw del nuevo polígono (1 s), resaltado (0.4 s), aparición del nuevo valor "π₍bajo₎ = 3.0000" (0.3 s).
13‑17	n = 12: mismo patrón (fade‑out 0.3 s, draw 1 s, resaltado 0.4 s, valor "π₍bajo₎ = 3.1058" 0.3 s).
17‑21	n = 24: idem, valor "π₍bajo₎ = 3.1325".
21‑25	n = 48: idem, valor "π₍bajo₎ = 3.1390".
25‑29	n = 96: idem, valor "π₍bajo₎ = 3.1406".
29‑33	Zoom out suave (0.5 s) para mostrar todos los polígonos superpuestos, manteniendo el círculo y la nota.
33‑38	Texto final: aparece centrado "A medida que $n$ aumenta, $\pi_{\text{bajo}}$ tiende a 3.1416" con fade‑in (0.5 s) y luego hold (3 s).
38‑40	Desvanecimiento final: todo el contenido se desvanece lentamente (2 s) para concluir.

5. Transiciones y efectos de énfasis

• Dibujo de polígonos: usar Create (trazado) con velocidad constante.
• Resaltado del perímetro: cambiar temporalmente el color del contorno a azul claro y aumentar el grosor; después de 0.5 s volver al color negro.
• Valores numéricos: aparecer con Write y permanecer hasta que el siguiente polígono lo reemplace; el número anterior se desvanece con FadeOut simultáneo al nuevo Create.
• Nota: permanece visible durante toda la escena; su fondo gris claro asegura legibilidad sobre cualquier elemento.
• Zoom out: cámara ligeramente alejada (factor 1.2) para que el espectador vea la acumulación de polígonos.

6. Ángulos y perspectiva de cámara

• Cámara estática, vista ortogonal (2‑D) centrada en el origen.
• Al final del paso de 96 lados, se realiza un smooth zoom out manteniendo el centro en el origen.
• No se utilizan rotaciones ni cambios de perspectiva para mantener la claridad del método.

7. Otros detalles relevantes

• Colores: fondo #FFFFFF, líneas #000000, resaltado perímetro #4A90E2 (azul claro), fondo de texto #F0F0F0 (gris muy claro).
• Espaciado: los valores numéricos se alinean verticalmente a la derecha del círculo, con separación de 0.8 unidades entre cada línea para evitar solapamiento.
• Formato de números: siempre con 4 decimales, usando coma decimal si se prefiere estilo español (ej. "3,1416"). Se mostrará con punto decimal para consistencia con LaTeX.
• Etiquetas: todas las etiquetas están en español ("diámetro", "Perímetro del polígono inscrito < circunferencia", etc.).
• Duración total: 40 s a 50 s según la velocidad de los draw y fade; se ha planificado 50 s para asegurar que cada paso sea perceptible sin exceder el límite de 60 s.

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Resumen rápido de la línea de tiempo

• 0‑3 s: círculo y diámetro
• 3‑5 s: nota
• 5‑29 s: 6 pasos de polígonos (≈4 s cada uno)
• 29‑33 s: zoom out
• 33‑38 s: mensaje final
• 38‑40 s: fade out

Esta especificación cubre todos los requisitos solicitados: círculo unidad, polígonos con n = 4,6,12,24,48,96, visualización del perímetro, fórmula y valores numéricos, nota explicativa, conclusión en español, estilo limpio y duración dentro del rango indicado.