正电子在磁场与阻力中的轨迹

Overview

展示正电子在垂直纸面匀强磁场 $B$ 与线性阻力 $\boldsymbol{f}=-k\boldsymbol{v}$ 共同作用下的二维运动路径，并同步呈现 笛卡尔坐标系、自然坐标系、极坐标系 三种数学描述。核心结论是终点坐标与初始曲率半径 $r$ 成正比。

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Phases

#	Phase Name	Duration	Description
1	Title Intro	~1 s	标题 “正电子在磁场与阻力中的轨迹” 居中淡入，保持 1 s 后淡出。
2	Parameter Display	~1 s	参数 $B, k, m, e, v_0$ 以简洁数值形式在画面左上角出现并淡出，为后续动画做准备。
3	Trajectory Generation	~3 s	红色半透明实线从原点 $O$ 按解析式 $x(t),y(t)$ 渐进绘制至终点 $P$。金色小球同步沿已绘轨迹前进，速度随 $v(t)=v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$ 衰减。
4	Coordinate‑Box Reveal	~3 s	三个坐标系框依次淡入（每个约 1 s），分别显示笛卡尔、自然、极坐标的关键公式。对应框在出现时轻微放大突出。
5	Motion Replay with Dynamics	~4 s	小球重新从 $O$ 出发，完整演示真实速度衰减；同时在小球位置绘制瞬时曲率半径 $\ ho$（半透明圆弧）并显示速度矢量箭头（长度随 $v(t)$ 变化）。
6	Outro & Conclusion	~2 s	所有元素保持，底部出现结论文字 $\overline{OP}=\dfrac{eB r}{\sqrt{k^{2}+(eB)^{2}}}$，随后整体淡出结束。

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Layout

┌───────────────────────────────────────────────────────┐
│                         TOP AREA                       │
│   (标题 / 参数文字) – 居中或左上角淡入/淡出               │
├───────────────────────┬───────────────────────────────┤
│                       │                               │
│      MAIN AREA        │   RIGHT COLUMN (STACKED)      │
│   (轨迹、粒子、网格)   │   ┌───────────────────────┐   │
│                       │   │   Cartesian Box       │   │
│                       │   ├───────────────────────┤   │
│                       │   │   Natural Box         │   │
│                       │   ├───────────────────────┤   │
│                       │   │   Polar Box           │   │
│                       │   └───────────────────────┘   │
├───────────────────────┴───────────────────────────────┤
│                     BOTTOM AREA                        │
│   (结论文字) – 居中淡入，保持至结束                     │
└───────────────────────────────────────────────────────┘

Area Descriptions

Area	Content	Notes
Top	标题 “正电子在磁场与阻力中的轨迹” 与参数值 $B, k, m, e, v_0$	标题在 Phase 1 淡入，参数在 Phase 2 淡入后 0.5 s 自动淡出
Main	黑色背景、白色坐标轴、浅灰网格；红色轨迹线、白色起点 $O$ 圆点、绿色终点 $P$ 圆点；金色小球随时间移动；速度箭头与曲率半径圆弧在 Phase 5 动态出现	轨迹线透明度 0.6，线宽 4；小球半径适中，颜色金色
Right (Cartesian Box)	LaTeX 公式 $x(t),\\;y(t)$ 参数表达式（仅关键结构）	背景半透明，文字白色，出现于 Phase 4 第一次淡入
Right (Natural Box)	LaTeX 公式 $\ ho(s)=r-\frac{k}{eB}s$ 与 $\ heta(s)=\frac{eB}{k}\ln\bigl(1-\frac{k}{eB r}s\bigr)$	同上
Right (Polar Box)	LaTeX 公式 $r' = R_{0} e^{-\frac{k}{eB}\ heta'}$	同上
Bottom	结论文字 $\overline{OP}=\dfrac{eB r}{\sqrt{k^{2}+(eB)^{2}}}$	Phase 6 淡入，保持至场景结束

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Notes

• 单一 Scene：整个动画必须在一个 Manim Scene 类中完成，所有对象在同一时间轴上管理。
• 文本最小化：仅保留必要的标签（O、P、标题、参数、公式框、结论），所有其他信息通过视觉元素表达。
• 颜色与透明度：
  • 轨迹线：红色, opacity 0.6, stroke_width 4
  • 起点 O：白色实心圆点，半径 0.08
  • 终点 P：绿色实心圆点，半径 0.08
  • 小球：金色实心圆点，半径 0.07
  • 速度箭头：白色，长度比例 $v(t)/v_0$
  • 曲率半径示意：半透明蓝色圆弧，半径等于当前 $\ ho$
• 运动节奏：总时长约 14 s，前半段（Phase 3）速度较快，后半段（Phase 5）逐渐减慢，以符合指数衰减 $e^{-k t/m}$。
• 坐标轴位置：原点 O 位于画面左下方约 1/4 处，使完整螺旋轨迹在右上方可见。
• 磁场指示：在画面左下角放置一个向内的箭头图标并标注 “$\mathbf{B}$ (into page)”。
• 淡入/淡出：所有框、文字使用 0.5 s 的淡入/淡出过渡，保持视觉连贯性。
• 不使用音频或交互：仅视觉表现。
• 保持简洁：若实际数值未提供，使用示例数值 $B=0.1\\,\ ext{T},\\;k=0.01,\\;m=9.11\ imes10^{-31}\\,\ ext{kg},\\;e=1.6\ imes10^{-19}\\,\ ext{C},\\;v_0=10^{6}\\,\ ext{m/s}$ 作为默认。